Curriculum

Vector analysis, vector integration, Gauss and Stokes theorem, potential theory, Gauss law, Poisson equation, Dirac delta function, Helmholtz theorem, vector analysis in curvilinear coordinates, matrices and determinants, orthogonal matrices, hermitian matrices, diagonalization of matrices, normal matrices, infinite series, convergence tests, series algebra, series of functions, Taylor expansion, power series, Euler-Maclaurin formula, asymptotic series, Fourier series, properties and applications of the Fourier series, discrete Fourier transform.

Introduction to computational errors analysis, floating-point representation, computational arithmetic, numerical solving techniques, linear and nonlinear algebraic equation system solving techniques, polynomial and spline interpolation techniques, least squares fitting , eigenvalue approximation techniques, numerical derivation techniques, numerical integration techniques, including gaussian quadrature, numerical resolution techniques of ODE, initial and frontier value problems.

Ordinary first and second order differential equations: basic properties, particular solution and general solution, initial value problems, boundary value problems, qualitative study of equilibrium solutions, numerical simulations and applications; Linear systems: basic concepts, qualitative study of solutions, equilibrium points, stability, phase space, numerical simulations and applications in two-dimensional systems; Nonlinear systems: basic concepts, Lyapunov methods, Hartman-Grobman theorem, Poincaré-Bendixon theorem, gradient and Hamiltonian systems, Lyapunov functions, numerical simulations and applications.

Fundamental concepts, Derivative Approximation by Finite Differences, Finite difference method. General considerations on partial differential equations, canonical models. Parabolic equations. Finite difference method for parabolic equations. Local, global error, stability, consistency and convergence. Elliptic equations. Finite difference method for elliptic equations. Border conditions in general domains. Neumann boundary conditions. Hyperbolic equations.

Introduction to numerical and algebraic computing systems. Notions of numerical and algebraic algorithms. Graphical display of functions. Practical applications of computer systems such as Python, Matlab, Maple, Maxima, R, SPSS, among others. Implementation of algorithms.

Basic concepts of tensor calculus; Gradient, divergent and rotational; Divergence and Stokes theorem; Continuous media kinematics; Description of Motions of a Continuum, material derivative, Displacement Field, infinitesimal Deformations, transport theorem, finite deformation; Laws of conservation of mass, momentum and energy; Theory of constitutive equations; Axioms of objectivity and principle of material indifference; Constitutive equations; Applications to elastic solids; Generalized Hooke’s Law, Isotropy, Hyperelasticity, Deformation energy function; Fluid applications; Ideal Fluids, Elastic, Newtonian; Compressibility and incompressibility, Navier-Stokes equations.

Introduction to optimization; Convexity; Linear programming; Algorithms for optimization fall; Unrestricted Optimization Methods; Constrained optimization; Algorithms for constrained optimization; Convex programming.

Basic Definitions: Mathematical Models, Random experiment. Definitions of Probability. Random Variables: Discrete, Continuous and Mixed-type random variables. Expected value. Probability distributions. Random Vectors. Conditional expectation and prediction. Law of large numbers: Weak Law of Tchebychef; Strong Law of Kolmogorov. Central Limit Theorem. Multivariate Normal Distribution.

Funções de variáveis complexas, propriedades analíticas, mapas, teoria de Sturm–Liouville, funções ortogonais, transformada integral, transformada de Fourier — teorema da inversão, transformada de Fourier de derivadas, teorema da convolução, transformadas de Laplace, transformada de Laplace de derivadas, transformada inversa de Laplace, cálculo das variações, aplicações da Equação de Euler, multiplicadores de Lagrange, variações com restrições, técnica variacional de Rayleigh–Ritz, introdução à teoria de grupos, geradores de grupos contínuos, grupos discretos, formas diferenciais.

Introdução, importância e aplicações da análise de sensibilidade; Parâmetros de projeto: de material, geométricos, domínio de definição do problema; Análise de sensibilidade discreta; Equações de estado e função custo; Diferentes métodos de cálculo; Método direto, método adjunto e método Lagrangeano; Sensibilidade de primeira e segunda ordem; Aplicações em problemas lineares.

Visão Geral: caos, fractais e dinâmica, não-linearidade. Fluxos na linha: geometria e evolução, pontos fixos e estabilidade, crescimento populacional, análise linear de estabilidade, impossibilidade de oscilações, resolvendo equações com o computador. Bifurcações: sela-nó, transcrítica, limiar laser, forquilha, algoritmos para traçar diagramas de bifurcação numericamente. Fluxos bidimensionais: construindo modelos dinâmicos, planos de fase e retratos de fase, pontos fixos, linearização, competição de espécies, sistemas conservativos. Ciclos limite, teorema de Poincaré-Bendixson, exemplos. Caos: equações de Lorenz, atrator estranho, mapa de Lorenz. Mapas unidimensionais, mapa logístico, expoente de Lyapunov.

Serão consideradas como Estudos Especiais: seminários, conferências, colóquios, minicursos, defesa de dissertações ou outras atividades reconhecidas pelo
Colegiado do programa.

Motivação; Métodos Variacionais; Modelagem Clássica do Problema de Elasticidade Plana; Problemas unidimensionais estáticos: Treliças, Vigas, Barras e Pórticos; Funções de interpolação, Vetores e matrizes locais, Montagem dos vetores e matrizes globais, Integração numérica, Condições de fronteira, Estimativas de erro, Existência e Unicidade de solução, Lema de Lax-Milgram; Problemas bidimensionais estáticos: Formulação do problema, Discretização do domínio, Funções de interpolação (Lagrange e Hermite), Transformações Isoparamétricas, Quadratura Gaussiana. Estimativas de erro. Problemas evolutivos: Equação de conversão-difusão, Formulação semi-discreta, consistência e estabilidade.

Motivação. Elementos do Cálculo das Variações. Problema clássicos do Cálculo Variacional. Variação e gradiente de um funcional. Equações de Euler. Condições principais e naturais. Funcionais dependendo de várias variáveis e de suas derivadas de primeira ordem ou superior. Problemas variacionais com condições subsidiárias. Lema de Du Bois-Reymond. Extremos com descontinuidades em suas derivadas. Condições de Weierstrass-Erdmann. Problema do mínimo de um funcional quadrático. Aplicações em Mecânica. Princípio da Potência Virtual. Elasticidade. Princípios de Mínima Energia Potencial Total. Formulação mista. Métodos Diretos no Cálculo das Variações. Métodos de Resíduos. Métodos de Colocação. Métodos de Mínimos Quadrados. Método de Galerkin. Método de Ritz. Método dos Elementos Finitos.

Processos estocásticos: Cadeias de Markov; Estacionariedade forte e fraca. Modelos de séries temporais: Alisamento exponencial; Modelos de médias móveis e função de autocorrelação; Modelos auto-regressivos e função de autocorrelação parcial; Modelos auto-regressivos e de médias móveis; Modelos ARIMA; Sazonalidade; SARMA e SARIMA; Modelagem de séries temporais com variáveis exógenas.

Distribuição Amostral. Estimadores Pontuais e suas Propriedades. Métodos de Estimação Pontual. Estimação Intervalar. Testes de Hipóteses. Introdução à Estatística Bayesiana: Distribuições à Priori e à Posteriori; Famílias Conjugadas; Função Perda e Estimador de Bayes.

Esperança condicional com relação a uma sigma-álgebra. Martingales a tempo discreto: definição, propriedades básicas, decomposição de Doob-Meyer; tempos de parada e o teorema da amostragem opcional. Martingales a tempo contínuo: definição, propriedades, decomposição de Doob-Meyer, tempos de parada, tempos opcionais e o teorema da amostragem opcional. Integral de Itô: definição, propriedades, isometria de Itô, variação quadrática. Equações diferenciais estocásticas: soluções fracas e fortes. Existência de soluções.

Programação Linear Inteira, Método de Planos de Corte, Método Branch and Bound, Geração de colunas, Dualidade e Relaxação Lagrangeana: método do subgradiente e heurísticas Lagrangeanas. Otimização por subgradientes. Aplicações.

Conceitos introdutórios, Decomposição de Dantzig-Wolfe; Geração de colunas; Relaxação de restrição; Decomposição de Benders; Decomposição Lagrangeana; Programação Quadrática Sequencial e Condições de Qualificação; Métodos de região de confiança; Métodos BFGS com memória limitada; Método de pontos interiores.

Introdução e conceitos básicos; Teoria da regularização para as equações de primeira espécie; Regularização via discretização, Métodos de Galerkin. Métodos das colocações; Problemas inversos de valores próprios; Espalhamento e problemas inversos: Unicidade, soluções numéricas. Aplicações em acústica e geofísica, Estimativa de parâmetros e estimativa de funções, Método de Levenberg-Marquardt de estimativa de parâmetros, Método do Gradiente Conjugado com Problema, Adjunto para estimativa de funções, Técnicas Bayesianas de solução de problemas inversos, Estimativa Maximum a Posteriori, Técnica sequencial de estimativa de parâmetros, Métodos de Monte-Carlo com Cadeia de Markov, Exemplos de aplicações em transferência de calor e massa.

Modelos discretos e contínuos de interações intraespecíficas: curvas de sobrevivência, coorte, modelos de estrutura etária, dependência da densidade, resposta funcional, modelos com retardo, dependência da temperatura; Modelos de interações interespecíficas: predação, parasitismo, competição, simbiose, mutualismo, amensalismo, cadeias tróficas; Dinâmica de Doenças Infecciosas: epidemiologia, doenças de transmissão direta e indireta, modelos compartimentais; Dinâmica Espaço-Temporal: modelos de metapopulação, modelos de reação-difusão, quimiotaxia.

Introdução ao cálculo de variações; lema fundamental do cálculo variacional; equação de Euler-Lagrange para o problema básico; funcionais dependentes de derivadas superiores; problema variacional por funcionais de várias variáveis; equações de Euler-Poisson e de Ostrogradsky; problema variacional para funcionais em forma paramétrica; aplicações; problemas variacionais do extremo condicional; problemas de otimização em sistemas dinâmicos; princípio do máximo do Pontryáguin; formulação do princípio do máximo; programação dinâmica; princípio de Bellman; sistemas ótimos baseados nos índices de desempenho quadrático; problema da construção analítica do regulador ótimo; inter-relações entre a programação dinâmica e o princípio do máximo.

Variável

Variável

Variável

A ser definido com o professor da disciplina.