Dissertations/Thesis

As doenças transmitidas por mosquitos, como dengue, malária, chikungunya, zika vírus e febre amarela, têm sido tema relevante de estudos no meio acadêmico–científico. Os números alarmantes relatados ano a ano no mundo colocam muitas dessas doenças em destaque. Técnicas de manipulação genética, juntamente com métodos de prevenção, vacinas e medicamentos fornecem um conjunto de possibilidades que, se utilizadas de forma correta, podem reduzir consideravelmente a incidência de muitas doenças. A avaliação das medidas de prevenção e combate a doenças precisa ser feita, inicialmente, através de simulações de modelos matemáticos e computacionais para posterior aplicação prática, a fim de garantir segurança, economia e viabilidade. Neste trabalho, propomos um modelo descrito por um sistema de equações diferenciais do tipo reação–difusão–quimiotaxia que descreve o espalhamento e a interação entre mosquitos selvagens e transgênicos, onde a população transgênica tem capacidade reduzida de detecção de CO 2 , o que dificulta sua orientação para o repasto sanguíneo e, por consequência reduz a taxa de picada em humanos. O modelo foi resolvido numericamente utilizando a técnica de decomposição de operadores sequenciais, com a parte reativa do sistema resolvida pelo método Runge-kutta de quarta ordem e a parte difusiva–quimiotática pelo método de Crank-Nicolson. As simulações numéricas obtidas atestaram a consistência do modelo com as premissas adotadas.

Mosquito-borne diseases such as dengue, malaria, chikungunya, Zika-virus and yellow fever, have been relevant subject of studies in the academic- scientific environment. The alarming numbers reported yearly in the world place many of these diseases in prominence.
Genetic manipulation techniques, together with prevention methods, vaccines and drug treatment provide a set of possibilities that, when used correctly, can considerably reduce the incidence of many diseases. The assessment of disease prevention and control measures must first be done through simulations of mathematical and computational models and just later practical application in order to guarantee safety, economy and viability. In this work, we propose a model described by a system of differential equations of the reaction-diffusion-chemotaxis type that describes the spread and interaction between wild and transgenic mosquitoes, where the transgenic population has a reduced CO 2 detection capacity, which makes it difficult to blood orientation and therefore reduces the bitting rate on humans. The model was solved numerically using the sequential operator splitting technique, with the reactive part of the system solved by the fourth-order Runge-kutta and the diffusive-chemotactic part by the Crank-Nicolson method. The numerical simulations obtained attest to the consistency of the model with the assumptions adopted.

A partir das técnicas de programação semidefinida tornou-se possível otimizar de maneira eficiente problemas de engenharia estrutural. Neste trabalho, apresenta-se o problema programação semidefinida, suas aplicações e condições de otimalidade. Também é proposta uma nova técnica de pontos interiores com arcos viáveis para o problema não convexos de programação semidefinida. Apresenta-se o problema de maximização da frequência natural de estruturas. Este problema é reescrito como um problema de programação semidefinida não convexo. São apresentados alguns testes numéricos que comprovam a eficácia da nova técnica quando aplicados ao problema de maximização da frequência natural de estruturas.

The semidefinite programming techniques allow to optimize structural engineering problems efficiently. In this work, we present the problem semidefinite programming, its applications and optimality conditions. In addition, a new method of interior points by feasible arcs for the non-convex problem of semidefinite programming is proposed. We present the problem of maximizing the natural frequency of structures. This problem is rewritten as a non-convex semidefinite programming problem. We present some numerical tests that prove the effectiveness of the new technique when applied to the problem of maximizing the natural frequency of structures.

Neste trabalho, analisaremos o problema de avaliar a influência de observações no modelo de regressão de valor extremo sob censura tipo I. Tal modelo é bastante importante no estudo de dados de tempo de vida. Primeiramente obtemos a função log-verossimilhança, a função escore e a matriz de informação de Fisher. Em seguida, discutimos alguns métodos de influência, tais como a influência global e a influência local. Na análise de influência local derivamos as expressões para curvaturas normais sob diferentes esquemas de perturbações. Finalizaremos obtendo um expressão de forma fechada para a alavancagem generalizada.

In this paper, we analyze the problem of evaluating the influence of observations in the extreme value regression model (Gumbel regression) under type I censorship. This model is very important in the analysis of lifetime data. First, we obtain the log-likelihood function, the score function and Fisher’s information matrix. Then we will discuss some methods of influence, such as global influence and the influence local. In the local influence analysis will derive the normal curvatures under various perturbation schemes. We conclude the work obtaining a closed-form expression for the generalized leverage.

Nesta dissertação, usamos o modelo de Gumbel; Inicialmente obtivermos a matriz de informação de Fisher e a escrevermos na sua forma matricial, depois calculamos os cumulantes de segunda e terceira ordem, posteriormente derivamos os cumulantes de segunda ordem com respeito aos parâmetros. Em seguida, subtraı́mos das derivadas dos cumulantes de segunda ordem os cumulantes de terceira ordem e substituı́mos estes valores na expressão de Cox e Snell para obtenção da correção do Viés. Utilizamos a fórmula encontrada em Cox and Snell (1968), pois a partir de tal resultado, podemos definir um estimador corrigido $\widetilde{\theta}_a = \widehat{\theta}_a - \widehat{B}( \widehat{\theta}_a )$, onde $\widehat{B}( \widehat{\theta}_a )$ é o viés estimado de $\widehat{\theta}_a$ , onde $\widetilde{\theta}_a$ tem viés de ordem $O(n^{−2} )$. Logo à medida que o tamanho amostral $n$ aumenta, esperamos que o viés de $\widetilde{\theta}_a$ aproxime-se mais rapidamente de zero que o viés de $\widehat{\theta}_a$. Faremos a correção do viés para o modelo de Gumbel com censura tipo I e tipo II.

In this thesis, we use the model of Gumbel; Initially we had the Fisher information matrix and we write in a matrix form, then calculated the second- and third-order cumulants later derive the second order cumulants with respect to the parameters. Then we subtract the derivatives of the second order cumulants the third order cumulants and replace these values in the expression of Cox and Snell to obtain the correction of bias.We use the formula found in Cox and Snell (1968), because from what outcome we can define a corrected estimator $\widetilde{\theta}_a = \widehat{\theta}_a -\widehat{B}( \widehat{\theta}_a )$, where $\widehat{B}( \widehat{\theta}_a )$ it is the estimated bias $\widehat{\theta}_a$, where $\widetilde{\theta}_a$ has order bias $O(n^{−2} )$. As soon as the sample size $n$ increases, we expect the bias $\widetilde{\theta}_a$ approaches zero faster than the bias $\widehat{\theta}_a$. We will correct the bias for the model with censorship Gumbel type I and type II.

Neste trabalho, analisaremos o problema de avaliar a Influência de observações no Modelo de Regressão de Valor Extremo sob Censura tipo II. Tal modelo é bastante importante no estudo de dados de tempo de vida. Primeiramente obteremos a função log-verossimilhança, a função escore e a matriz de informação. Em seguida discutiremos alguns métodos de influência, tais como a influência global e a influência local. Na análise de influência local derivaremos as expressões para curvaturas normais sob diferentes esquemas de perturbações. Finalizaremos obtendo um expressão de forma fechada para a alavancagem generalizada.

In this work, we analyze the problem of evaluating the Influence of observations in the Extreme Value Regression model under censure type II. Such a model is very important in the analysis of lifetime data. First we obtain the log-likelihood function, the function score, and information matrix. Then we will discuss discuss some methods of influence, such as global influence and local influence. In the local influence analysis we will derive the expressions for normal bends under different disturbances schemes. Finalize obtaining a closed-form expression for overall leverage.

Neste trabalho apresentamos uma implementação do Método das Soluções Fundamentais (Method of Fundamental Solutions - MFS ) combinado com o Método dos Multipolos Rápidos (Fast Multipole Method - FMM ) a qual denominamos de MFS-FMM. Alguns experimentos numéricos foram realizados considerando-se um problema de Laplace definido sobre um domı́nio bidimensional, onde o algoritmo proposto apresentou precisão compatı́vel com a obtida através do MFS clássico. Destacamos, duas vantagens da solução dada pelo algoritmo proposto sobre o MFS: 1) menor custo computacional e 2) o sistema linear resultante demonstrou-se bem condicionado, ao contrário do que acontece com o MFS que necessita ser regularizado. Em particular, esta segunda vantagem é bastante relevante na presença de dados com ruı́dos, como ocorre no caso de problemas inversos, onde o MFS tem ocupado um papel de destaque em diversas aplicações.

In this work we present an implementation of Method Fundamental Solutions (MFS) combined with the method of Fast Multipole (FMM) which we call the MFS-FMM. Some numerical experiments were performed considering a Laplace problem defined in a two-dimensional domain, where the algorithm presented accurately compatible with that obtained through the classic MFS. We highlight two advantages of the solution given by the algorithm on the MFS: 1) lower computational cost and 2) the resulting linear system proved to be well conditioned, the in contrest of what happens to the MFS that needs to be regularized. In particular, this second feature is and quite relevant in the presence of data with noise, as in the case of inverse problems, where MFS has played a prominent role in many applications.

Apresenta-se, nesta tese, um estudo sobre a difusão do conhecimento em modelagem matemática no Brasil. Para tanto, exploramos as redes de coautoria dos Programas de Pós-Graduação em Modelagem Matemática, com perfil de modelagem, cadastrados na Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional (SBMAC).

Apresentamos uma breve revisão sobre teoria dos grafos, redes sociais e redes complexas, como conceitos básicos que constituem o alicerce teórico do trabalho presente. Em seguida, reproduzimos a construção e análise de redes de coautoria em periódicos de educação matemática, para fundamentar a viabilidade do trabalho. Finalmente, construímos e analisamos as redes de coautoria em Programas de Pós-Graduação em Modelagem Matemática, através da exploração de dados acadêmicos dos currículos Lattes, registrados no CNPq (órgão governamental brasileiro).

In this thesis, we present a study on the diffusion of knowledge in mathematical modeling in Brazil is presented. To do so, we explore the co-authorship networks of the Graduate Programs in Mathematical Modeling, with a modeling profile, registered in the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics (SBMAC).

We present a brief review on graph theory, social networks and complex networks, as basic concepts that constitute the theoretical foundation of present work. Next, we reproduce the construction and analysis of co-authorship networks in mathematics education journals, to substantiate the viability of work. Finally, we constructed and analyzed the co-authorship networks in Graduate Programs in Mathematical Modeling, through the exploration of academic data of Lattes curricula, registered at CNPq (Brazilian governmental agency).

Apresenta-se, nesta dissertação, uma formulação nova e geral para um modelo de difusão com retenção, recentemente introduzida por Bevilacqua et al., onde a equação resultante é uma equação diferencial parcial (EDP) de quarta ordem. Além disso, nesse modelo o termo de retenção está associado ao termo de ordem superior da EDP, podendo ser interpretado como uma pequena perturbação singular de um fenômeno de difusão pura, levando-se em conta as diferentes ordens de grandeza nos respectivos parâmetros, como geralmente é observado nos dados experimentais. Esta abordagem possibilitou a proposta de uma expansão assintótica para a EDP de quarta ordem, onde obtemos três termos acoplados (de difusão pura) mais um pequeno termo remanescente, que pode ser desprezado, permitindo aproximar a solução numérica da difusão anômala espacial por um método de soluções fundamentais do tipo Kansa (KMFS), considerando-se a solução fundamental do operador de difusão. Em particular, neste trabalho serão apresentados alguns resultados numéricos da aplicação do MFS em problemas de difusão com retenção onde realizaremos uma análise de sensibilidade de seus parâmetros, o que nos auxiliará na discussão da viabilidade da metodologia ora proposta.

Presented in this dissertation, a new formulation and general diusion model with retention, recently introduced by Bevilacqua et al., where the resulting equation is a fourth order partial dierential equation (PDE-partial dierential equation). Besides, in this model the retention term is associated with higher-order term of the PDE, and can be interpreted as a small perturbation of a pure diusion phenomenon, taking into account the dierent orders of magnitude in their parameters, as is generally observed in experimental data. This approach allowed the proposal of an asymptotic expansion for the fourth-order PDE, where we obtain three terms coupled (pure diusion) plus a small remaining term, which may be despised, allowing closer to the numerical solution of the anomalous diusion for a space of fundamental solutions of the type method Kansa (KMFS), considering the fundamental solution of the diusion operator. In particular, this work will be presented some numerical results of application of MFS in diusion problems with retention where we will perform a sensitivity analysis of its parameters, which will aid in the discussion of the feasibility of proposed methodology.

Apresenta-se, nesta dissertação, uma formulação nova e geral para um modelo de difusão com retenção, recentemente introduzida por Bevilacqua et al., onde a equação resultante é uma equação diferencial parcial (EDP) de quarta ordem. Além disso, nesse modelo o termo de retenção está associado ao termo de ordem superior da EDP, podendo ser interpretado como uma pequena perturbação singular de um fenômeno de difusão pura, levando-se em conta as diferentes ordens de grandeza nos respectivos parâmetros, como geralmente é observado nos dados experimentais. Esta abordagem possibilitou a proposta de uma expansão assintótica para a EDP de quarta ordem, onde obtemos três termos acoplados (de difusão pura) mais um pequeno termo remanescente, que pode ser desprezado, permitindo aproximar a solução numérica da difusão anômala espacial por um método de soluções fundamentais do tipo Kansa (KMFS), considerando-se a solução fundamental do operador de difusão. Em particular, neste trabalho serão apresentados alguns resultados numéricos da aplicação do MFS em problemas de difusão com retenção onde realizaremos uma análise de sensibilidade de seus parâmetros, o que nos auxiliará na discussão da viabilidade da metodologia ora proposta.

Due to recent advances in genetic manipulation, transgenic mosquitoes may be a viable alternative to reduce some diseases. Feasibility conditions are obtained by simulating and analyzing mathematical models that describe the behavior of wild and transgenic populations living at the same geographic area. In this work, we present a reaction–diffusion model where the reaction term is a nonlinear function that describes the interaction between wild and transgenic mosquitoes taking into account the zygosity. The system of partial differential equations obtained is solved numerically by combining Runge-Kutta’s method and finite element method through the sequential operator splitting technique.